Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞5；
（2）已知關(guān)于x的不等式f（x）＜2012的解集是非空集合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}-2x+3，x＜1\\ 1，1≤x≤2\\ 2x-3，x＞2\end{array}\right.$，分類求解不等式f（x）＞5，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，求出|x+a|+|x-2|的最小值，進(jìn)而可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}-2x+3，x＜1\\ 1，1≤x≤2\\ 2x-3，x＞2\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時(shí)，解f（x）=-2x+3＞5得：x＜-1；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，解f（x）=1＞5恒不成立；
當(dāng)x＞2時(shí)，解f（x）=2x-3＞5得：x＞4，
綜上可得不等式f（x）＞5的解集為：（-∞，-1）∪（4，+∞）；
（2）|x+a|+|x-2|≥|（x+a）-（x-2）|=|a+2|，
若不等式f（x）＜2012的解集是非空集合，則|a+2|＜2012，
解得：a∈（-2014，2010）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值三角不等式，難度中檔．