Question

8．已知圓O：x²+y²=25，圓O₁的圓心為O₁（m，0），⊙O與⊙O₁交于點(diǎn)P（3，4），過點(diǎn)P且斜率為k（k≠0）的直線l分別交⊙O、⊙O₁于點(diǎn)A，B．
（1）若k=1且$|BP|=7\sqrt{2}$，求⊙O₁的方程；
（2）過點(diǎn)P作垂直于l的直線l₁分別交⊙O、⊙O₁于點(diǎn)C，D，當(dāng)m為常數(shù)時(shí)，試判斷|AB|²+|CD|²是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過k=1且$|BP|=7\sqrt{2}$，利用圓心到直線的距離與半徑半弦長的關(guān)系，求出m的值，然后求圓O₁的方程；
（2）設(shè)出A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線AB方程，通過方程組求出x₁，x₂，利用弦長公式求出AB，CD然后求出它們的和，即可判斷是否是定值．

解答 解：（1）k=1時(shí)，直線l的方程為x-y+1=0，
由$|BP|=7\sqrt{2}$，得${（\frac{|m+1|}{{\sqrt{2}}}）^2}+{（\frac{{7\sqrt{2}}}{2}）^2}={（m-3）^2}+{4^2}$，解得m=14或m=0
因?yàn)閙＞0，所以m=14
即圓O₁的方程為（x-14）²+y²=137；
（2）直線l的方程為y-4=k（x-3）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=25\\ y-4=k（x-3）\end{array}\right.$消去y得：（1+k²）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0，
${x_B}+{x_A}=-\frac{{8k-6{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，${x_B}{x_A}=\frac{{9{k^2}-24k-9}}{{1+{k^2}}}$，
$|AB{|^2}={（{x_B}-{x_A}）^2}+{（{y_B}-{y_A}）^2}$=$（1+{k^2}）{（{x_B}-{x_A}）^2}$=$（1+{k^2}）[{（{x_B}+{x_A}）^2}-4{x_B}{x_A}]=\frac{{4{m^2}}}{{1+{k^2}}}$，
因?yàn)橹本�l₁垂直于l，所以用$-\frac{1}{k}$替換上式中的k，
得$|CD{|^2}=\frac{{4{m^2}}}{{1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}}=\frac{{4{m^2}{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，
所以|AB|²+|CD|²=4m²．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．