Question

20．已知點A（5，0），拋物線C：y²=8x的焦點為F，點P在拋物線C上，若點F恰好在PA的垂直平分線上，則PA的長度為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用已知條件，判斷三角形PFA的形狀，利用拋物線的性質(zhì)與拋物線方程求出P的坐標(biāo)，通過兩點間距離公式求解即可．

解答 解：點A（5，0）在x軸上，拋物線C：y²=8x的焦點為F（2，0），
點P在拋物線C上，若點F恰好在PA的垂直平分線上，
可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|，可得|PF|=3，
由拋物線的定義可知，丨PF丨=x+$\frac{p}{2}$=3，則x=1，當(dāng)x=1時，y=2$\sqrt{2}$，
∴P（1，2$\sqrt{2}$）．
則丨PA丨=$\sqrt{（1-5）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．