Question

8．已知函數(shù)f（x）=cosωx•sin（ωx-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ω＞0，x∈R），且函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到它對(duì)稱軸的最近距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值及f（x）的對(duì)稱軸方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（A）=0，sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，對(duì)稱中心到它對(duì)稱軸的最近距離為$\frac{π}{4}$，可得周期T，從而求出ω．結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的對(duì)稱軸方程；
（2）根據(jù)f（A）=0，求解出A角的大小，sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，根據(jù)正弦定理可得b的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cosωx•sin（ωx-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ω＞0，x∈R），
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sinωxcosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²ωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ω＞0，x∈R），
=$\frac{1}{4}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2ωx=$\frac{1}{2}$sin（2ωx$+\frac{π}{3}$）
∵函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到它對(duì)稱軸的最近距離為$\frac{π}{4}$．
∴T=4×$\frac{π}{4}$=π，
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，
故得ω=1．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x$+\frac{π}{3}$），
對(duì)稱軸方程：2x$+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴f（x）的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）∵f（A）=0，即sin（2A$+\frac{π}{3}$）=0，
∴2A$+\frac{π}{3}$=kπ，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，可得：$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{4}{5}}$，解得：b=$\frac{2}{5}$．
故得b的值為：$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用以及正弦定理的計(jì)算，求解出f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．