Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）為奇函數(shù)，則有（ ）
A．a(chǎn)≠0，c=0
B．b=0
C．a(chǎn)=0，c≠0
D．a(chǎn)²+c²=0

Answer 1

【答案】分析：先求導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（x）為奇函數(shù)可知f'（x）=-f'（-x），故3ax²+c恒成立恒成立，所以a=c=0，由此得出答案．
解答：解：函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f'（x）=-f'（-x），即3ax²+2bx+c=-3ax²+2bx-+c，
∴3ax²+c恒成立，a=c=0．即a²+c²=0．
故選D．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的解析式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．