Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）有一個零點x₀=-

2

3

，且其圖象過點A（

7

3

，1），記函數(shù)f（x）的最小正周期為T．
（Ⅰ）若f′（x₀）＜0，試求T的最大值及T取最大值時相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）若將所有滿足題設(shè)條件的ω值按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列{ω_n}，試求數(shù)列{ω_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合,正弦函數(shù)的圖象

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：（I）由已知可得sin(-

2

3

ω+φ)=0，sin(

7

3

ω+φ)=1，-

2

3

ω+φ=kπ，

7

3

ω+φ=2k₁π+

π

2

，k∈Z，k₁∈Z．消去ω可得：9φ=7kπ+4k₁π+π，利用|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

9

．f（x）=sin（ωx+

π

9

）．f′（x）=ωcos(ωx+

π

9

)，利用f′（x₀）＜0，可得2kπ+

π

2

＜

2

3

ω-

π

9

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z，ω＞0，取k=0時，

11π

12

＜ω＜

29π

12

，可得

24

29

＜

2π

ω

＜

24

11

．有一個零點x₀=-

2

3

，且其圖象過點A（

7

3

，1），可得

7T

4

=3，即可得出．
（2）由（1）可得-

2

3

ω+φ=kπ，

7

3

ω+φ=2k₁π+

π

2

，k∈Z，k₁∈Z．消去φ可得：ω=

1

3

(2k1-k+

1

2

)π，
ω＞0，2k₁-k可取0，1，2，3，…．可得ω_n=

2n-1

6

π，利用等差數(shù)列的前n項和公式可得數(shù)列{ω_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（I）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）有一個零點x₀=-

2

3

，且其圖象過點A（

7

3

，1），
∴sin(-

2

3

ω+φ)=0，sin(

7

3

ω+φ)=1，
∴-

2

3

ω+φ=kπ，

7

3

ω+φ=2k₁π+

π

2

，k∈Z，k₁∈Z．
消去ω可得：9φ=7kπ+4k₁π+π，
∵|φ|＜

π

2

，∴9φ=π，解得φ=

π

9

．
∴f（x）=sin（ωx+

π

9

）．
f′（x）=ωcos(ωx+

π

9

)，
∵f′（x₀）＜0，∴ωcos(-

2

3

ω+

π

9

)＜0，
又ω＞0，
∴cos(

2

3

ω-

π

9

)＜0，
∴2kπ+

π

2

＜

2

3

ω-

π

9

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z，ω＞0，
∴當k=0時，

11π

12

＜ω＜

29π

12

，
∴

24

29

＜

2π

ω

＜

24

11

．
∵有一個零點x₀=-

2

3

，且其圖象過點A（

7

3

，1），
∴

7

4

T=

7

3

-(-

2

3

)=3，
∴T=

12

7

．
∴T的最大值為

12

7

，ω=

7π

6

．
f（x）=sin(

3π

2

x+

π

9

)．
（2）由（1）可得-

2

3

ω+φ=kπ，

7

3

ω+φ=2k₁π+

π

2

，k∈Z，k₁∈Z．
消去φ可得：ω=

1

3

(2k1-k+

1

2

)π，
ω＞0，
∴2k₁-k可取0，1，2，3，…．
∴ω_n=

2n-1

6

π，
∴數(shù)列{ω_n}的前n項和S_n=

n2π

6

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．