Question

已知f（x）=2

2

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+

π

4

）（ω＞0），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并指出此時x的值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）=cos（2ωx+

π

4

 ），再利用函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的周期為

2π

ω

=π，求得ω的值．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=cos（2x-

5π

12

），再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值，以及此時x的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=2

2

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+

π

4

）=

2

sin（2ωx+

π

2

）-sin（2ωx+

π

4

）
=

2

cos2ωx-sin2ωx•

2

2

-cos2ωx•

2

2

=

2

2

cos2ωx-

2

2

sin2ωx=cos（2ωx+

π

4

 ），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2ω

=π，∴ω=1，故f（x）=cos（2x+

π

4

 ）．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位長度，得到函數(shù)g（x）=cos（2x-

2π

3

+

π

4

）=cos（2x-

5π

12

）的圖象，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

5π

12

∈[-

5π

12

，

7π

12

]，
故當(dāng)2x-

5π

12

=

7π

12

時，即x=

π

2

時，函數(shù)取得最小值為cos

7π

12

=-sin

π

12

=-sin（

π

3

-

π

4

）=-

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

2 - 6

4

；
當(dāng)2x-

5π

12

=0時，即x=

5π

24

時，函數(shù)取得最大值為cos0=1．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．