Question

設(shè)命題P：不等式x²-4x+a²≤0的解集是空集，命題Q：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立，若命題“P∨Q”為真命題，且命題“P∧Q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域分析求解命題P為真命題時(shí)的條件；通過求

m2+8

，（m∈[-1，1]）的最大值，求出命題q為真命題時(shí)的條件，再根據(jù)復(fù)合命題真值表求解即可．

解答： 解：命題P：△=16-4a²＜0⇒a＞2或a＜-2，
命題q：∵m∈[-1，1]，∴

m2+8

∈[2

2

，3]，
∵對(duì)m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立，
只須滿足 a²-5a-3≥3，
∴a≥6或a≤-1．
故命題q為真命題時(shí)，a≥6或a≤-1，
∵命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，根據(jù)復(fù)合命題真值表，命題P與q一真一假
（1）若P真q假，則

a＞2或a＜-2 -1＜a＜6

⇒2＜a＜6．
（2）若P假q真，

-2≤a≤2 a≤-1或a≥6

則⇒-2≤a≤-1，
綜合（1）（2）得實(shí)數(shù)a的取值范圍為-2≤a≤-1或2＜a＜6．

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查復(fù)合命題的真假判定，考查不等式的恒成立問題與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．