在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(Ⅰ)求A的大;
(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)正弦定理,設(shè),把sinA,sinB,sinC代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC求出a2=b2+c2+bc
再與余弦定理聯(lián)立方程,可求出cosA的值,進而求出A的值.
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)中A的值,可知c=60°-B,化簡得sin(60°+B)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),得出最大值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)
則a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
方程兩邊同乘以2R
∴2a2=(2b+c)b+(2c+b)c
整理得a2=b2+c2+bc
∵由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA
故cosA=-,A=120°
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC
=sinB+sin(60°-B)
=cosB+sinB
=sin(60°+B)
故當B=30°時,sinB+sinC取得最大值1.
點評:本題主要考查了余弦函數(shù)的應(yīng)用.其主要用來解決三角形中邊、角問題,故應(yīng)熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是( 。
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長為20cm,求此三角形的各邊長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位;
②將①中的圖象的縱坐標不變,橫坐標縮短為原來的
1
2

③將②中的圖象的橫坐標不變,縱坐標伸長為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案