Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足sinA+2

3

cos2

A

2

=2+

3

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若

m

=(1，sinB)，

n

=(

3

，sinC)，且

m

∥

n

，a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)sinA+2

3

cos2

A

2

=2+

3

化簡(jiǎn)整理求得sin（A+

π

3

）的值，進(jìn)而根據(jù)A的范圍求得A．
（Ⅱ）由

m

∥

n

可推斷出sinC=

3

sinB，利用正弦定理把角的正弦轉(zhuǎn)化成邊，代入余弦定理中求得b和c，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意得2sin(A+

π

3

)=2，即sin(A+

π

3

)=1
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

π

2

，
∴A=

π

6

（Ⅱ）由

m

∥

n

得sinC=

3

sinB，則c=

3

b
由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，有b²+3b²-3b²=4，
則b=2，c=2

3

，
所以S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用．余弦定理是解三角形問(wèn)題的常用方法，應(yīng)熟練記憶和應(yīng)用．