Question

19．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2-a_n，n∈N^*，設函數f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，數列{b_n}滿足b_n=f（a_n），記{b_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）求a_n及T_n；
（Ⅱ）記c_n=a_n•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數列遞推式求得首項，進一步得到數列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首項a₁=1的等比數列，求其通項公式，代入b_n=f（a_n），得{b_n}為等差數列，則{b_n}的前n項和為T_n可求；
（Ⅱ）把a_n，b_n代入c_n=a_n•b_n，由作差法可得單調性，利用單調性求得c_n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=2-a_n，得a₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2-a_n=（2-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
則數列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首項a₁=1的等比數列，
∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴b_n=f（a_n）=n-1，
則${T}_{n}=\frac{n（n-1）}{2}=\frac{{n}^{2}-n}{2}$；
（Ⅱ） c_n=a_n•b_n=（n=1）$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
由c_n+1-c_n=$n（\frac{1}{2}）^{n}-（n-1）（\frac{1}{2}）^{n-1}=（2-n）（\frac{1}{2}）^{n}$．
當n=1時，c₂＞c₁；
當n=2時，c₃=c₂；
當n≥3時，c_n+1＞c_n．
∴${（{c_n}）_{max}}={c_2}={c_3}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了數列的函數特性，是中檔題．