已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表達(dá)式；

(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項(xiàng)式，n∈N*),試用t表示an和bn；

(3)設(shè)圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個圓的面積之和，求rn、Sn.

(1) f(x)=x2－(t+2)x+t+1, (2) an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n), (3) rn=, Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］


解析:

(1)設(shè)f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.

(2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得:

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，

上式對任意的x∈R都成立，

取x=1和x=t+1分別代入上式得 

且t≠0，

解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)

(3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，

又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，

又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1

設(shè){rn}的公比為q，則

                                                   

       ②÷①得q==t+1，代入①得rn=

∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象過點(diǎn)（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f(sinx)，x∈[0，
π2
]的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）圖象的頂點(diǎn)是（-1，3），又f（0）=4，一次函數(shù)y=g（x）的圖象過（-2，0）和（0，2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞3g（x）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且在x軸上截得的線段長為2．若f（x）的最小值為-1，求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示：
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式f（x）＞0的解集；
（3）若方程|f（x）|=k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)函數(shù)圖象及變換知識，求k的取值的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），且函數(shù)y=f(x-
12
)是偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x2-13]•|x|，求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；
（3）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

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