Question

【題目】已知函數 ．
（1）當a=0時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）是否存在實數a，當0＜x≤2時，函數f（x）圖象上的點都在 所表示的平面區(qū)域（含邊界）？若存在，求出a的值組成的集合；否則說明理由；
（3）若f（x）有兩個不同的極值點m，n（m＞n），求過兩點M（m，f（m）），N（n，f（n））的直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣ ，

∴f（1）=1，f′（1）=﹣1，

∴求出直線方程是y﹣1=﹣（x﹣1），

即y=﹣x+2；

（2）解：由題意得：0＜x≤2時，f（x）≤x，即 ﹣2lnx≤0，

設φ（x）= ﹣2lnx，則問題等價于x∈（0，2]時，φ（x）max≤0，

φ′（x）=﹣ ，

（i）當a≥0時，φ′（x）＜0，不合題意，

（ii）當a＜0時，①﹣ ∈（0，2）時，φ（x）在（0，﹣ ）上遞增，在（﹣ ，2）上遞減，

φ（x）max=φ（﹣ ）=﹣2﹣2ln（﹣ ）≤0，此時，a∈（﹣4，﹣ ]；

②﹣ ∈[2，+∞）時，φ（x）在（0，2]遞增，φ（2）= ﹣2ln2≤0，

此時，a∈（﹣∞，﹣4]；

綜上，存在實數a組成的集合{a|a≤﹣ }；

方法二：由題意f（x）≤x，對x∈（0，2]恒成立，

即 ﹣2lnx≤0對x∈（0，2]恒成立，

由 ﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，

令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），則a≤[φ（x）]min，

φ′（x）=2（lnx+x ）=2（lnx+1），

當0＜x＜ 時，φ′（x）＜0，

當 ＜x＜2時，φ′（x）＞0，

∴φ（x）在（0，2]上的最小值是φ（ ）=﹣ ，

故a≤﹣ 為所求；

（3）解：由f′（x）= =0（x＞0），

得x2﹣2x﹣a=0，（x＞0），

由題意得： ，解得：﹣1＜a＜0，

kMN= = =2﹣ ，

設t= ，（m＞n），

則kMN=2﹣ （t＞1），

設g（t）= lnt，（t＞1），

則g′（t）= ，

設h（t）=t﹣ ﹣2lnt（t＞1），

則h′（t）=1+ ﹣ = ＞0，

∴h（t）在（1，+∞）遞增，

∴h（t）＞h（1）=0即g（t）＞0，

∴g（t）在（1，+∞）遞增，

t→+∞時，g（t）→+∞，

設Q（t）=lnt﹣（1﹣ ），（t＞1），

則Q′（t）= ＞0，

∴Q（t）在（1，+∞）遞增，

∴Q（t）＞Q（1）=0，即lnt＞1﹣ ，

同理可證t﹣1＞lnt，

∴t+1＞ ＞ ，

當t→1時，t+1→2， →2，

∴t→1時，g（t）→2，

∴直線MN的斜率的取值范圍是（﹣∞，0）．

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（2）法一：根據 ﹣2lnx≤0，設φ（x）= ﹣2lnx，則問題等價于x∈（0，2]時，φ（x）max≤0，通過討論a的范圍，求出函數的最大值，從而求出a的范圍即可；法二：由 ﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），則a≤[φ（x）]min ， 根據函數的單調性求出函數的最小值，從而求出a的范圍即可；（3）求出函數f（x）的導數，求出a的范圍，表示出直線MN的斜率，結合換元思想以及函數的單調性求出斜率k的范圍即可．
【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．