Question

在三棱錐C-ABO中，BO、AO、CO所在直線兩兩垂直，且AO=CO=1，∠BAO=60°，E是AC的中點．
（1）求三棱錐C-ABO的體積；
（2）D是AB的中點，求異面直線DC和OE所成的角的大�。�

Answer 1

解：（1）由題意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱錐C-ABO的高，…（2分）
在Rt△ABO中，AO=1，∠BAO=60°，所以BO=，AB=2，
CO=1，所以V_C-ABO=××AO×BO×CO=．…（6分）
（2）設AD的中點為F，連接EF、OF，因為E為AC的中點，所以EF∥CD，
所以∠FEO就是異面直線DC和OE所成的角，…（9分）
在△AOF中，AO=2AF=1，∠BAO=60°，
所以△AOF為直角三角形，OF=，
又在Rt△COD中，CD=，所以EF=，又OE=
在△EFO中，cos∠FEO==…（13分）
∠FEO=arccos，異面直線DC和OE所成的角的大小為arccos．…（14分）
分析：（1）由題意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱錐C-ABO的高，然后根據錐體的體積公式進行求解即可；
（2）設AD的中點為F，連接EF、OF，因為E為AC的中點，所以∠FEO就是異面直線DC和OE所成的角，然后利用余弦定理求出此角，最后利用反三角表示此角即可．
點評：本題主要考查了棱錐的體積的計算，以及異面直線的所成角，同時考查了余弦定理的應用，屬于中檔題．