Question

在三棱錐C-ABO中，BO、AO、CO所在直線兩兩垂直，且AO=CO=1，∠BAO=60°，E是AC的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐C-ABO的體積；
（2）D是AB的中點(diǎn)，求異面直線DC和OE所成的角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱錐C-ABO的高，然后根據(jù)錐體的體積公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連接EF、OF，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以∠FEO就是異面直線DC和OE所成的角，然后利用余弦定理求出此角，最后利用反三角表示此角即可．
解答：解：（1）由題意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱錐C-ABO的高，…（2分）
在Rt△ABO中，AO=1，∠BAO=60°，所以BO=，AB=2，
CO=1，所以V_C-ABO=××AO×BO×CO=．…（6分）
（2）設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連接EF、OF，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以EF∥CD，
所以∠FEO就是異面直線DC和OE所成的角，…（9分）
在△AOF中，AO=2AF=1，∠BAO=60°，
所以△AOF為直角三角形，OF=，
又在Rt△COD中，CD=，所以EF=，又OE=
在△EFO中，cos∠FEO==…（13分）
∠FEO=arccos，異面直線DC和OE所成的角的大小為arccos．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了棱錐的體積的計(jì)算，以及異面直線的所成角，同時(shí)考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．