Question

（2012•靜安區(qū)一模）我們知道，當(dāng)兩個矩陣P、Q的行數(shù)與列數(shù)分別相等時，將它們對應(yīng)位置上的元素相減，所得到的矩陣稱為矩陣P與Q的差，記作
P-Q．已知矩陣P=

cosA•sinA osA 16tanB cosA

，Q=

1 sinA 12 -sinA

，M=

- 109 169 -a2 0 17 13

，滿足P-Q=M．求下列三角比的值：
（1）sinA，cosA；
（2）sin（A-B）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中給出的定義，得到P-M的矩陣，再結(jié)合矩陣相等的含義列出方程組，最后結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可解出sinA和cosA的值．
（2）由（1）得tanB的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB和cosB的兩種情況，然后分別在這兩種情況下利用兩角差的正弦的公式，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)可以算出sin（A-B）的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得
P-Q=

cosAsinA-1 cosA-sinA 16tanB-12 cosA+sinA

，…（2分）
∵P-Q=M，M=

- 109 169 -a2 0 17 13

∴

cosAsinA-1=- 109 169 …① cosA+sinA= 17 13 …② cosA-sinA=-a2…③ 16tanB=12…④

…（5分）
由①②解得

sinA= 5 13 cosA= 12 13 .

或

sinA= 12 13 cosA= 5 13 .

…（7分）
由③得cosA≤sinA，所以

sinA= 12 13 cosA= 5 13 .

…（9分）
（2）由④得：tanB=

3

4

，（1分）
由同角三角比基本關(guān)系，得

sinB= 3 5 cosB= 4 5 .

或

sinB=- 3 5 cosB=- 4 5 .

…（3分）
當(dāng)

sinB= 3 5 cosB= 4 5

時，sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

33

65

；
當(dāng)

sinB=- 3 5 cosB=- 4 5

時，sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=-

33

65

…（6分）

點(diǎn)評：本題以二階矩陣的運(yùn)算為載體，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的正弦公式等知識，屬于中檔題．