平面內(nèi)有點(diǎn)A，B，C，D，滿足A，B∈l，C∉l，且|
CA
|≤|
CB
|，
CD
=sin2γ
CA
+cos2γ
CB
（γ∈R）．若有等式關(guān)系：①
CD
•
AB
=2016
AB 
2；②
1
tan∠CDB
+
1
tan∠B
-
1
tan∠A
=2015恒成立，則：
（Ⅰ）△ABC的形狀是
 
；
（Ⅱ）tan∠ADC=
 
．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（I）由
CD
=sin2γ
CA
+cos2γ
CB
（γ∈R），sin2γ+cos2γ=1．可得A，D，B三點(diǎn)共線，如圖所示，且點(diǎn)D在線段AB上．作CE⊥AB，垂足為E點(diǎn)．
CD
•
AB
=2016
AB 
2，可得-|
CD
||
AB
|cos∠CDB=2016|
AB
|2，|
DE
|=2016|
AB
|，不妨取|
AB
|=1．則|
DE
|=2016．由|
CA
|≤|
CB
|，可得點(diǎn)E一定在BA的延長(zhǎng)線上．即可得出△ABC的形狀．
（II）取點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，|
AE
|=2016，tan∠CDB=-tan∠CAE=-
CE
EA
=-
CE
2016
=-tan∠A，tan∠B=
CE
EB
=
CE
2017
，利用
1
tan∠CDB
+
1
tan∠B
-
1
tan∠A
=2015恒成立，可得CE=
2017
2015
．即可得出tan∠ADC．
解答： 解：（I）∵
CD
=sin2γ
CA
+cos2γ
CB
（γ∈R），sin2γ+cos2γ=1．
∴A，D，B三點(diǎn)共線，如圖所示，且點(diǎn)D在線段AB上．作CE⊥AB，垂足為E點(diǎn)．
CD
•
AB
=2016
AB 
2，可得-|
CD
||
AB
|cos∠CDB=2016|
AB
|2，
∴|
DE
|=2016|
AB
|，不妨取|
AB
|=1．
則|
DE
|=2016．
∵|
CA
|≤|
CB
|，
∴|
CA
|＜|
CB
|．
點(diǎn)E一定在BA的延長(zhǎng)線上．
可知：△ABC是鈍角三角形．
（II）取點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，|
AE
|=2016，
tan∠CDB=-tan∠CAE=-
CE
EA
=-
CE
2016
=-tan∠A，tan∠B=
CE
EB
=
CE
2017
，
∵
1
tan∠CDB
+
1
tan∠B
-
1
tan∠A
=2015恒成立，
∴2015=
1
tan∠B
=
2017
CE
，∴CE=
2017
2015
．
∴tan∠ADC=tan∠EAC=
CE
EA
=
2017
2015×2016
．
故答案分別為：鈍角三角形；
2017
2015×2016
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算、直角三角形的邊角關(guān)系、正切函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知四面體OABC各棱長(zhǎng)為1，D是棱OA的中點(diǎn)，則異面直線BD與AC所成角的余弦值（　�。�
A、
3
3
B、
1
4
C、
3
6
D、
2
8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
e1
，
e2
是兩個(gè)不共線的向量，向量
PA
=
e1
+sina•
e2
（-
π
2
＜a＜
π
2
），
PB
=2
e1
-
e2
，
PC
=3
e1
-
5
2
e2
，若A，B，C三點(diǎn)共線，且函數(shù)f（x-a）=4cos（x-a）cos（x-2a），則f（x）在[-
π
4
，
π
6
]上的值域?yàn)椋ā　。?/div>
A、[-2，
3
+2]
B、[1-
3
，2]
C、[-2
3
，
3
+2]
D、[
3
-1，
3
+2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求三棱錐B-DEF的體積；
（3）二面角E-DF-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知M、N分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中點(diǎn)，求：
（1）MN和CD′所成的角；
（2）MN和AD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=-1，an+1=an+
1
n(n+1)
，n∈N*，寫(xiě)出前5項(xiàng)，并寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+b，且f（4）=-3．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞]上遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，
AE
=
1
4
AC
且
AB
=a，
AD
=b，則
DE
=
 
．（結(jié)果用a，b表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)均相等的四面體O-ABCD中，D為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，設(shè)
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，則向量
OE
用向量
a
，
b
，
c
表示為（　　）
A、
OE
=
1
3
a
+
1
3
b
+
1
3
c
B、
OE
=
1
4
a
+
1
4
b
+
1
4
c
C、
OE
=
1
4
a
+
1
4
b
-
1
2
c
D、
OE
=
1
4
a
+
1
4
b
+
1
2
c

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