Question

5．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC側面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4，∠PAB=60° 
（I）若PE中點為．求證：AE∥平面PCD；
（Ⅱ）若G是PC的中點，求三棱錐P-BDG的體積．

Answer 1

分析 （I）取PC的中點G，連結DG，EG，根據(jù)已知條件容易說明四邊形ADGE為平行四邊形，從而有AE∥DG，根據(jù)線面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；
（Ⅱ）三棱錐P-BDG的體積=$\frac{1}{2}$V_P-BDC，即可求三棱錐P-BDG的體積．

解答 （I）證明：如圖，取PC的中點G，連結DG，EG；
∵EG∥AD，且AD=EG，所以ADGE為平行四邊形；
∴AE∥DG，且AE?平面PCD，DG?平面PCD；
∴AE∥平面PCD；
（II）解：側面PAB⊥底面ABCD，PA=AB=2，∠PAB=60°，
∴P到平面BDC的距離為$\sqrt{3}$，
底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=2，BC=4，∴S_△BDC=$\frac{1}{2}×4×2$=4
三棱錐P-BDG的體積=$\frac{1}{2}$V_P-BDC=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 考查中位線的性質(zhì)，平行四邊形的定義，線面平行的判定定理，以及直角三角形邊的關系，面面垂直的性質(zhì)定理，棱錐的體積公式．