Question

12．已知動圓M過定點E（2，0），且在y軸上截得的弦PQ的長為4．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A，B是軌跡C上的兩點，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，F(xiàn)（1，0），記S=S_△OFA+S_△OAB，求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），PQ的中點N，連MN，由|PM|=|EM|，可得|MN|²+|PN|²=|EM|²，即可求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）證明直線AB也經(jīng)過點E（2，0）．表示出S，利用基本不等式，即可求S的最小值．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），PQ的中點N，連MN，則：|PN|=2，MN⊥PQ，
∴|MN|²+|PN|²=|PM|²．
又|PM|=|EM|，
∴|MN|²+|PN|²=|EM|²
∴x²+4=（x-2）²+y，整理得y²=4x．
（2）設(shè)$A（{\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}}）$，$B（{\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}}）$，不失一般性，令y₁＞0，
則${S_{△OFA}}=\frac{1}{2}•|{OF}|•{y_1}=\frac{1}{2}{y_1}$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，
∴$\frac{{{y_1}^2{y_2}^2}}{16}+{y_1}{y_2}=-4$，解得y₁y₂=-8③
直線AB的方程為：$\frac{{y-{y_1}}}{{{y_2}-{y_1}}}\frac{{x-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}$，（y₁≠-y₂），
即$y-{y_1}=\frac{{4（{x-\frac{{{y_1}^2}}{4}}）}}{{{y_1}+{y_2}}}$，令y=0得x=2，即直線AB恒過定點E（2，0），
當(dāng)y₁=-y₂時，AB⊥x軸，$A（{2，2\sqrt{2}}）$，$B（{2，-2\sqrt{2}}）$．
直線AB也經(jīng)過點E（2，0）．
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|{OE}|•|{{y_1}-{y_2}}|={y_1}-{y_2}$．
由③可得${S_{△OAB}}={y_1}+\frac{8}{y_1}$，
∴S=$\frac{1}{2}{y}_{1}+（{y}_{1}+\frac{8}{{y}_{1}}）$=$\frac{3}{2}{y_1}+\frac{8}{y_1}≥2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{2}{y_1}=\frac{8}{y_1}$，即${y_1}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$時，${S_{min}}=4\sqrt{3}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線過定點，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．