Question

3．如圖，在空間直角坐標(biāo)系D-xyz中，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，AA₁=AB=2AD，點(diǎn)E為C₁D₁的中點(diǎn)，則二面角B₁-A₁B-E的余弦值為（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 分別求出兩個(gè)平面的法向量，再求出其夾角即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A₁（1，0，2），B₁（1，2，2），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），B（1，2，0），
∵E，F(xiàn)分別為C₁D₁、A₁B的中點(diǎn)，∴E（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，2，-2），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面A₁BE的一個(gè)法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得平面A₁BE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
又DA⊥平面A₁B₁B，
∴$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0）是平面A₁B₁B的一個(gè)法向量，且二面角B₁-A₁B-E為銳二面角，
∴二面角B₁-A₁B-E的余弦值為$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角的大小的方法是解題的關(guān)鍵．