Question

設(shè)橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．

（I）求橢圓的方程；

（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可得出；

（2）把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系就線段的中點坐標(biāo)公式即可得出．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則由題設(shè)得， 3分

解得，所以， 5分

故所求的方程為. 6分

（2）過點且斜率為的直線方程為， 8分

將之代入的方程，得，即. 10分

設(shè)直線與橢圓有兩個交點，

因為，所以線段中點的橫坐標(biāo)為，

縱坐標(biāo)為 . 11分

故所求線段的中點坐標(biāo)為. 12分.

考點：1.直線與圓錐曲線的關(guān)系；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．