Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）a=2時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$ （x＞0）（2分）
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＞0時，在區(qū)間（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在區(qū)間（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．（5分）
綜上可知：當(dāng)a≤0時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，在區(qū)間（0，a）上，f（x）單調(diào)遞減；
在區(qū)間（a，+∞）上，f（x）單調(diào)遞增．（7分）
（2）當(dāng)a=2時，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x=2

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f′（x）	-1	-	0	+	$\frac{e-2}{{e}^{2}}$
f（x）	2	減	極小值	增	1+$\frac{2}{e}$

f（x）_min=f（2）=ln2-1，f（x）_max=f（1）=2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．