Question

已知f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求集合M={m|方程f（x）=m有四個(gè)不等的實(shí)根}．

Answer 1

分析：（1）利用絕對(duì)值的意義，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)．利用分段函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用函數(shù)的圖象確定方程根的取值情況，然后確定方程有4個(gè)根的等價(jià)條件．

解答：解：（1）若x²-4x+3≥0即x≥3或x≤1時(shí)，f（x）=|x²-4x+3|=x²-4x+3=（x-2）²-1，
此時(shí)當(dāng)x≥3時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
若x²-4x+3＜0即1＜x＜3時(shí)，f（x）=|x²-4x+3|=-（x²-4x+3）=-（x-2）²+1，
此時(shí)當(dāng)1＜x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[3，+∞）和（1，2]．
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，1]和[2，3）．
（2）由圖象可知當(dāng)m＞1時(shí)，方程f（x）=m有2個(gè)根，
當(dāng)m=1時(shí)，方程f（x）=m有3個(gè)根，
當(dāng)m=0時(shí)，方程f（x）=m有2個(gè)根，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程f（x）=m有4個(gè)根，
當(dāng)m＜0時(shí)，方程f（x）=m沒(méi)有根．
故M={m|方程f（x）=m有四個(gè)不等的實(shí)根}={m|0＜m＜1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用絕對(duì)值的意義將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．