Question

△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
∵B為三角形的內角，
∴B=

π

4

；
（Ⅱ）S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac，
由已知及余弦定理得：4=a²+c²-2accos

π

4

≥2ac-2ac×

2

2

，
整理得：ac≤

4

2- 2

，當且僅當a=c時，等號成立，
則△ABC面積的最大值為

1

2

×

2

2

×

4

2- 2

=

1

2

×

2

×（2+

2

）=

2

+1．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．