Question

已知x∈[0，1]，函數(shù)，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（Ⅱ）設(shè)a≤-1，若?x₁∈[0，1]，總存在，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法步驟求解f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．
（2）在a≤-1，x∈[0，1]的條件下，判斷g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求解g（x）的值域，依題意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出關(guān)于a的不等式組，解出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）
令f'（x）=0
解得：（舍去）
列表：
可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212055443214266/SYS201310232120554432142017_DA/4.png">，
所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212055443214266/SYS201310232120554432142017_DA/5.png">
（Ⅱ）g′（x）=3（x²-a²）
因?yàn)閍≤-1，x∈（0，1）
所以g′（x）＜0，g（x）為[0，1]上的減函數(shù)，g（1）≤g（x）≤g（0）
所以g（x）∈[1-4a-3a²，-4a]
因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212055443214266/SYS201310232120554432142017_DA/6.png">
由題意知：
所以
又a≤-1，得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域等函數(shù)知識(shí)，對(duì)于（2）解答的關(guān)鍵是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在學(xué)習(xí)中，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握這一方法，本題是一道好題，屬于教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．