Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集為[-2，-1]∪[2，4]，則f（x）的解析式為

f(x)=

x2-4

2x

．

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可知f（-x）=-f（x），據(jù)此可解得b．由已知不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集為[-2，-1]∪[2，4]，及f（-2）=-f（2），可得f（2）=0，據(jù)此可算出c．再由f（1）＜f（3），得a＞0．由0≤f（x）≤

3

2

，得0≤

x2-4

ax

≤

3

2

，當(dāng)x＞0時，其解集為[2，4]，可得a的值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴

x2+c

-ax+b

=

x2+c

-ax-b

，即-ax+b=-ax-b，即2b=0，
∴b=0．
由已知不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集為[-2，-1]∪[2，4]，
∴

f(2)≥0 f(-2)≥0

，
又∵f（-2）=-f（2），
∴f（2）=0，即

22+c

2a

=0，即c+4=0，
∴c=-4．
∴可得f（x）=

x2-4

ax

．
由f（1）＜f（3），得

1-4

a

＜

9-4

3a

，∴

-3

a

＜

5

3a

，∴

14

3a

＞0，得a＞0．
由0≤f（x）≤

3

2

，得0≤

x2-4

ax

≤

3

2

，
當(dāng)x＞0時，上不等式可化為

x2-4≥0 2x2-3ax-8≤0

，可化為

x≥2 2x2-3ax-8≤0

，
∵當(dāng)x＞0時，其解集為[2，4]，
∴4是方程2x²-3ax-8=0的解，
∴2×4²-3×4a-8=0，∴a=2．
可驗證當(dāng)a=2，b=0，c=-4時，滿足題意．
故f（x）的解析式為f（x）=

x2-4

2x

．
故答案為f（x）=

x2-4

2x

．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，理解奇函數(shù)的性質(zhì)和靈活的計算能力是解此題的關(guān)鍵．