Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=2²ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（　�。�

• A． 3（4ⁿ-1）
• B． 3（2ⁿ-1）
• C． 4ⁿ-1
• D． （2ⁿ-1）²

Answer 1

分析 通過(guò)a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=2²ⁿ-1與a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=2^2（n-1）-1（n＞1）作差，進(jìn)而可知a_n=3×2^n-1，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=2²ⁿ-1，
∴當(dāng)n＞1是，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=2^2（n-1）-1，
兩式相減，得：2^n-1a_n=（2²ⁿ-1）-[2^2（n-1）-1]=3×4^n-1，
∴a_n=3×2^n-1（n＞1），
又∵a₁=2²-1=3滿足上式，
∴a_n=3×2^n-1，a_n²=9×4^n-1，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=9×$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=3（4ⁿ-1），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．