Question

已知{a_n}為等差數列，且a₃=5，a₇=2a₄-1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b₁+4b₂+9b₃+…+n²b_n=a_n，設數列{b_n}的前n項和為T_n，當n≥2時，證明T_n＜

5

2

．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）聯立方程組求得首項及公差即可得出結論；
（Ⅱ））由題意得b1+4b2+9b3+…+n2bn=an①，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1（n≥2）②
①-②得：n²b_n=a_n-a_n-1=2（n≥2），求得b_n，進而求得T_n，利用不等式放縮即可得證．

解答： 解：（1）設等差數列的首項和公差分別為a₁，d，則

a1+2d=5 a1+6d=2(a1+3d)-1

，解得

a1=1 d=2

…（2分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（4分）
Sn=

n(a1+an)

2

=n2…（6分）
（2）解：∵b1+4b2+9b3+…+n2bn=an①
∴b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1（n≥2）②
①-②得：n²b_n=a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴bn=

2

n2

，n≥2，又 b₁=a₁=1，∴bn=

1，n=1 2 n2 ，n≥2

．---------（9分）
∴當n≥2時，Tn=1+

2

22

+

2

32

+…+

2

n2

＜1+

1

2

+2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=1+

1

2

+2(

1

2

-

1

n

)=

5

2

…（12分）

點評：本題主要考查數列的基本運算、等差數列的性質、數列通項公式及數列求和的方法等知識，考查學生方程思想的運用及推理論證能力，屬難題．