Question

【題目】已知數(shù)列{an}是各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列，公差d∈N* ， 且{an}中任意兩項之和也是該數(shù)列中的一項．
（1）若a1=4，則d的取值集合為；
（2）若a1=2m（m∈N*），則d的所有可能取值的和為 ．

Answer 1

【答案】
（1）{1，2，4}
（2）2m+1﹣1
【解析】解：由題意可得，ap+aq=ak ， 其中p、q、k∈N* ， 由等差數(shù)列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），
整理得d= ，
1）若a1=4，則d= ，
∵p、q、k∈N* ， 公差d∈N* ，
∴k﹣p﹣q+1∈N* ，
∴d=1，2，4，
故d的取值集合為 {1，2，4}；
2）若a1=2m（m∈N*），則d= ，
∵p、q、k∈N* ， 公差d∈N* ，
∴k﹣p﹣q+1∈N* ，
∴d=1，2，4，…，2m ，
∴d的所有可能取值的和為1+2+4+…+2m= =2m+1﹣1，
所以答案是（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．
【考點精析】利用等比數(shù)列的前n項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知前項和公式：；在等差數(shù)列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列．