Question

12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}=x$，且f（0）=$\frac{1}{2}$，則$\frac{f（x）}{{|x|•{e^x}}}$的最小值為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的解析式，然后利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}=x$，
則g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{1}{2}$x²+c，
即f（x）=（$\frac{1}{2}$x²+c）e^x，
∵f（0）=$\frac{1}{2}$，
∴f（0）=ce⁰=c=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$）e^x，
則$\frac{f（x）}{{|x|•{e^x}}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{x}^{2}+1）{e}^{x}}{|x|{e}^{x}}$=$\frac{1}{2}$（|x|+$\frac{1}{|x|}$）≥$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=1，
即$\frac{f（x）}{{|x|•{e^x}}}$的最小值為1，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．