Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求證：函數(shù)有最小值，并求函數(shù)最小值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）函數(shù)單調(diào)遞增等價于導(dǎo)函數(shù)，再利用變量分離轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值問題： 的最大值，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值，即得實數(shù)的取值范圍；(2)實質(zhì)證明函數(shù) 當(dāng)時先減后增，也即函數(shù)有極小值點，并在此極小值點處取最小值，此時要用零點存在定理說明極值點存在.求出函數(shù)極小值表達式，即最小值表達式，利用導(dǎo)數(shù)研究最小值表達式單調(diào)性，并根據(jù)極小值點范圍確定最小值取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

. ∴，∴，

令， ，

∴，∴.

（Ⅱ） ∴

∴

∴， ， ，

，

，∴．

由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減，

，且，∴．

∴，

，

∴， ,

∴的最小值的取值范圍是．