Question

（2012•許昌縣一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a²+b²=3c²，則cosC最小值為

2

3

．

Answer 1

分析：利用余弦定理可得a²+b²=c²+2abcosC，與已知條件a²+b²=3c²聯(lián)立，再利用基本不等式即可求得cosC最小值．

解答：解：在△ABC中，由余弦定理得：a²+b²=c²+2abcosC，①
又a²+b²=3c²，
∴c²=

1

3

（a²+b²）代入①式有：
a²+b²=

1

3

（a²+b²）+2abcosC，
∴cosC=

2 3 (a2+b2)

2ab

≥

2 3 ×2ab

2ab

=

2

3

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）．
∴cosC最小值為

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查余弦定理與基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．