已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
,若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:a1=1,an+1=f(an
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足:cn=
2n
an
,求數(shù)列{cn}的前n項的和Sn
分析:(1)由f(x)=
x
x+1
,知an+1=f(an)=
an
an+1
=
1
1
an
+1
,由此求出
1
an+1
-
1
an
=1
,從而得到數(shù)列{an}的通項公式.
(2)由cn=
2n
an
=
2n
1
n
=n2n
,知sn=1×2+2×22+…+n2n,再由錯位相減法能夠求出數(shù)列{cn}的前n項的和Sn
解答:解:(1)∵f(x)=
x
x+1
,
an+1=f(an)=
an
an+1
=
1
1
an
+1

1
an+1
-
1
an
=1

設(shè)bn=
1
an
,
∴bn+1-bn=1,b1=
1
a1
=1
,
∴{bn}是等差數(shù)列,
bn=
1
an
=n
,
an=
1
n

(2)cn=
2n
an
=
2n
1
n
=n2n

∴sn=1×2+2×22+…+n2n
2sn=1×22+2×23+…+(n-1)2n+n2n+1
2Sn-Sn=Sn=-2-22-23…-2n+n2n+1=-
2(1-2n)
1-2
+n2n+1

=(n-1)2n+1+2.
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列的前n項和公式的求法,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理裂項求和法的合理運用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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