已知△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
．對于平面ABC上任意一點O，動點P滿足
OP
=
OA
+λ
a
+λ
b
，λ∈[0，+∞）．試問動點P的軌跡是否過某一個定點？說明理由．
分析：利用向量的相關(guān)知識，和條件足
OP
=
OA
+λ
a
+λ
b
，λ∈[0，+∞）．得到動點P的軌跡．
解答：解：以AB、AC為鄰邊作?ABDC，設(shè)對角線AD、BC交于點E，
AE
=
1
2
AD
=
1
2
（
a
+
b
）．
由
OP
=
OA
+λ
a
+λ
b
得到
OP
-
OA
=
AP
=2λ•
1
2
（
a
+
b
）
=2λ
AE
，λ∈[0，+∞），
∴
AP
與
AE
共線．
由λ∈[0，+∞）知道動點P的軌跡是射線AE，所以必過△ABC的重心．
點評：本題主要考查平面向量的基本定理以及其應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC=3
2
，則△ABC的面積為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•遼寧）選修4-1：幾何證明講
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧
AC
上的點（不與點A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為2+
3
，求△ABC外接圓的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連一模）已知△ABC中，AB=2，AC=
3
，∠B=60°，則∠A的度數(shù)為
30°
30°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義平面向量的正弦積為
a
•
b
=|
a
||
b
|sin2θ，（其中θ為
a
、
b
的夾角），已知△ABC中，
AB
•
BC
=
BC
•
CA
，則此三角形一定是（　�。�
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、銳角三角形
D、鈍角三角形

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