【題目】設(shè)為一個56元集合.求最小的正整數(shù)，使得對集合的任意15個子集，只要它們中間任何七個的并的元素個數(shù)均不少于，則這15個子集中一定存在三個集合，使得它們的交集非空.

【答案】41

【解析】

構(gòu)造15個子集

，

.

則，，

，.

于是，這15個子集中任何三個中必有兩個是組，或者必有兩個是組，三者交集均為空集.

現(xiàn)分析其中任何七個子集的元素個數(shù).

任取其中七個子集，，…，及，，…，，其中，.則

.

故滿足題設(shè)的正整數(shù).

下面用反證法證明：滿足題設(shè).

假設(shè)存在集合的某15個子集，，…，.盡管其中任何七個子集的并集不少于41個元素，但其中任何三個子集的交集均為空集，從而，每個元素至多屬于兩個子集.

分兩種情形討論.

（1）集合的每個元素均恰屬于，，…，中兩個子集.

由抽屜原理，知必有一個子集（不妨設(shè)為）中至少含有（表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)）個元素.由，，…，組成的所有七元子集組，至少共對應(yīng)個元素.

另一方面，對任一元素，若，則，，…，中只有兩個子集含有，于是，被計算的次數(shù)為；若，則，，…，中只有一個子集含有，于是，被計算的次數(shù)為.

故

，即，矛盾.

（2）集合可能存在一些元素至多屬于子集，，…，中一個子集.

在不含這些元素的子集中各找一個添入這些元素，直至集合的每個元素均恰含于子集，，…，中兩個子集.于是，改造過的子集，，…，中的任意三個的交仍然為空集.此時，該情形已化為（1），從而，也是矛盾的.

總之，對于集合的任意15個子集，只要它們中任何七個的并的元素個數(shù)均不少于41，則這15個子集中就一定存在三個交集非空的集合.

綜上，滿足題設(shè)的最小正整數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】進入冬天，大氣流動性變差，容易形成霧握天氣，從而影響空氣質(zhì)量．某城市環(huán)保部門試圖探究車流量與空氣質(zhì)量的相關(guān)性，以確定是否對車輛實施限行．為此，環(huán)保部門采集到該城市過去一周內(nèi)某時段車流量與空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：

(1)根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程。

(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2，則認為得到的線性回歸方程是可靠的．請根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠？

注：回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為.

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【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與二次曲線有4個不同的交點，由下面的草圖可以看出，下面三個結(jié)論是成立的，請給出證明.

（1）.兩曲線的4個交點中，至少有兩個交點位于軸的下方；

（2）.拋物線必與軸有兩個不同的交點，記為，，；

（3）.兩曲線的4個交點中，必存在一點，使.

注.對、、的不同取值會有無數(shù)個圖形，此處僅就，各給出一個示意圖，同時也就限制“由圖看出”的解答.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，且線段的中點為，橢圓的上頂點為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點，若直線與的斜率之和為2，證明：過定點.

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【題目】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中（側(cè)棱與底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D 是A1B1的中點．

（1）求證：C1D⊥平面AA1B1B；

（2）當點F 在BB1上的什么位置時，AB1⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論．

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【題目】某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠信用水”活動，學(xué)生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢。現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出和收益情況，如下表：

售出水量x（單位：箱）

7

6

6

5

6

收益y（單位：元）

165

142

148

125

150

(Ⅰ) 若x與y成線性相關(guān)，則某天售出8箱水時，預(yù)計收益為多少元？

(Ⅱ) 期中考試以后，學(xué)校決定將誠信用水的收益，以獎學(xué)金的形式獎勵給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級前200名，獲一等獎學(xué)金500元；考入年級201—500 名，獲二等獎學(xué)金300元；考入年級501名以后的特困生將不獲得獎學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎學(xué)金的概率均為，獲二等獎學(xué)金的概率均為，不獲得獎學(xué)金的概率均為.

⑴在學(xué)生甲獲得獎學(xué)金條件下，求他獲得一等獎學(xué)金的概率；

⑵已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個等第的獎學(xué)金是相互獨立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎學(xué)金總金額X 的分布列及數(shù)學(xué)期望。

附： ， 。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為實數(shù).

(1)當時，求的最小值；

(2)若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)都有成立，求的取值范圍.

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【題目】下列命題正確的選項為（ ）

①平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；

②一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；

③一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線垂直，則該直線與此平面垂直；

④一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

A.①②B.②③C.①④D.③④

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