Question

20．已知圓O：x²+y²=1，點(diǎn)M（x₀，y₀）是直線上x(chóng)-y+2=0一點(diǎn)，若圓O上存在一點(diǎn)N，使得∠NMO=$\frac{π}{6}$，則x₀的取值范圍是（　　）

• A． [-2，0]
• B． （0，3）
• C． [2，4]
• D． （-1，3）

Answer 1

分析 過(guò)M作⊙O切線交⊙C于R，則∠OMR≥∠OMN，由題意可得∠OMR≥$\frac{π}{6}$，|OM|≤2．再根據(jù)M（x₀，2+x₀），求得x₀的取值范圍．

解答 解：過(guò)M作⊙O切線交⊙C于R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OMR≥∠OMN．
反過(guò)來(lái)，如果∠OMR≥$\frac{π}{6}$，則⊙O上存在一點(diǎn)N使得∠OMN=$\frac{π}{6}$．
∴若圓O上存在點(diǎn)N，使∠OMN=$\frac{π}{6}$，則∠OMR≥$\frac{π}{6}$．
∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．
又∵M(jìn)（x₀，2+x₀），|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（2+x₀）²=2x₀² +4x₀+4，
∴2x₀²+4x₀+4≤4，解得，-2≤x₀≤0．
∴x₀的取值范圍是[-2，0]，
故答案為：[-2，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相切時(shí)切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．