Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足4S_n=a

2 n

+2a_n．
（1）求a₁的值；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：

4

a 2 1

+

4

a 2 2

+…+

4

a 2 n

＜2，n∈N^Φ．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）4S_n=a

2 n

+2a_n．令n=1，可得4a1=

a

2 1

+2a₁，解出即可．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4S_n-4S_n-1，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可得a_n-a_n-1=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，

4

a 2 1

=1＜2成立．當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）解：∵4S_n=a

2 n

+2a_n．令n=1，可得4a1=

a

2 1

+2a₁，a₁＞0，解得a₁=2．
（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4S_n-4S_n-1=

a

2 n

+2an-(

a

2 n-1

+2an-1)，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，

4

a 2 1

=1＜2成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．
∴

4

a 2 1

+

4

a 2 2

+…+

4

a 2 n

=

1

1

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．