Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)奇偶性，得到f（x）滿足的一個(gè)關(guān)系式，再利用條件f(

1

2

)=

2

5

，得到f（x）的一個(gè)關(guān)系式，解得a、b的值，得到本題結(jié)論；（2）將分式轉(zhuǎn)化為積為定值的形式，利用基本不等式求出最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
即：

a(-x)+b

(-x)2+1

=-

ax+b

x2+1

，
∴-ax+b=-ax-b，
∴b=0．
∴f（x）=

ax

x2+1

，
∵f(

1

2

)=

2

5

，
∴

1 2 ×a

( 1 2 )2+1

=

2

5

，
∴a=1．
綜上，a=1，b=0．
（2）由（1）知：
f（x）=

x

x2+1

，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

x+ 1 x

≤

1

2 x× 1 x

=

1

2

，
∴0＜f(x)≤

1

2

；
當(dāng)x＜0時(shí)，-

1

2

≤f（x）＜0，
綜上，-

1

2

≤f（x）≤

1

2

．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬-

1

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性和基本不等式，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．