Question

如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分別是BC，AP的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AC與ED所成的角的大��；
（2）求△PDE繞直線PA旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：欲求異面直線所成角，只需平移異面直線中的一條，是它們成為相交直線，則相交直線所成角就是異面直線所成角，再放入三角形中，通過解三角形求出該角．本題中取AB中點(diǎn)F，連接DF，EF，則AC∥DF，∠EDF就是異面直線AC與PB所成的角．再放入Rt△EFD中來求．
解法二：利用空間向量來解，先建立空間直角坐標(biāo)系，把異面直線AC與ED所成的角轉(zhuǎn)化為向量，的夾角，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可．
（2）△PDE繞直線PA旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體，是以AD為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個(gè)以AD為底面半徑、AE為高的小圓錐，所以只需求出兩個(gè)圓錐的體積，再相減即可．
解答：解（1）解法一：取AB中點(diǎn)F，連接DF，EF，則AC∥DF，
所以∠EDF就是異面直線AC與PB所成的角．
由已知，，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，，．
所以異面直線AC與ED所成的角為（．
解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，，E（0，0，1），
PCDE，
所以異面直線AC與ED所成的角為．
（2）△PDE繞直線PA旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體，是以AD
為底面半徑、AP為高的圓錐中挖去一個(gè)以AD為底面
半徑、AE為高的小圓錐，體積．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線所成角的求法，以及組合體體積的求法．