Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+S_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=3+log₄a_n，設T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+S_n=1，得a_n+1+S_n+1=1，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項，可得其正數(shù)項，再分類求T_n．

解答： 解：（1）由a_n+S_n=1，得a_n+1+S_n+1=1，
兩式相減，得a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．
∴2a_n+1=a_n，即a_n+1=

1

2

a_n．
又n=1時，a₁+S₁=1，∴a₁=

1

2

．又

an+1

an

=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴a_n=a₁q^n-1=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ．
（2）b_n=3+log₄（

1

2

）ⁿ=3-

n

2

=

6-n

2

．
當n≤6時，b_n≥0，T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(11-n)

4

；
當n＞6時，b_n＜0，
T_n=b₁+b₂+…+b₆-（b₇+b₈+…+b_n）
=

6×5

4

-[（n-6）（-

1

2

）+

(n-6)(n-7)

2

•（-

1

2

）]
=

n2-11n+60

4

．
綜上，T_n=

n(11-n) 4 (n≤6) n2-11n+60 4 (n≥7)

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，求解數(shù)列的和方法的應用，屬于數(shù)列知識的綜合應用．