Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcos²

φ

2

+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π處取最小值．
（1）求φ的值；
（2）若實數(shù)α滿足f（α）+f（

π

2

-α）=

1

5

，α∈（

π

2

，π），試求

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式，得到f（x）=sin（x+φ），然后，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=π處取最小值，確定φ=

π

2

；
（2）根據(jù)（1），得到f（x）=cosx，然后，根據(jù)f（α）+f（

π

2

-α）=

1

5

，得到sinα+cosα=

1

5

，從而得到sinα-cosα=

7

5

，最后，化簡

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

=-2sinα，從而確定其值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcos²

φ

2

+cosxsinφ-sinx，
∴f（x）=2sinx•

1+cosφ

2

+cosxsinφ-sinx
=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx
=sin（x+φ），
∴f（x）=sin（x+φ），
∵函數(shù)f（x）在x=π處取最小值．
且0＜φ＜π，
∴φ=

π

2

．
（2）根據(jù)（1）得
f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx，
∴f（α）+f（

π

2

-α）
=cosα+cos（

π

2

-α）=

1

5

，
∴sinα+cosα=

1

5

，
∵

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

=

2sinαcosα-2sin2α

sinα-cosα

=

2sinα(cosα-sinα)

sinα-cosα

=-2sinα
∵sinα+cosα=

1

5

，且α∈（

π

2

，π），
∴sinα-cosα=

7

5

，
∴sinα=

4

5

，
∴

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

的值為-

8

5

．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角公式等知識，屬于中檔題．