Question

極坐標(biāo)系中，已知點A，B的極坐標(biāo)分別為（1，0），（4，0），點P是平面內(nèi)一動點，且|PB|=2|PA|，動點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）以極點為直角坐標(biāo)系原點，極軸為x正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點M（x，y）在曲線C上移動，求式子3x-4y+5的范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）設(shè)點P（ρ，θ），求出|AP|²和|BP|²的值，由|PB|=2|PA|，得ρ²+16-8ρcosθ=4（ρ²+1-2ρcosθ），化簡可得曲線C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由互化公式，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，令z=3x-4y+5，則直線系3x-4y+10-z=0與圓x²+y²=4有公共點，故圓心（0，0）到直線3x-4y+10-z=0的距離小于或等于半徑，由此求得z的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點P（ρ，θ），則|AP|²=（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-0）²=ρ²+1-2ρcosθ，
|BP|²=（ρcosθ-4）²+（ρsinθ-0）²=ρ²+16-8ρcosθ，
由|PB|=2|PA|，得ρ²+16-8ρcosθ=4（ρ²+1-2ρcosθ），求得ρ=2，
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（Ⅱ）由互化公式，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，令z=3x-4y+5，
則直線系3x-4y+10-z=0與圓x²+y²=4有公共點，
故圓心（0，0）到直線3x-4y+10-z=0的距離小于或等于半徑，
即d=

|5-z|

32+42

=

1

5

|z-5|≤2，求得-5≤z≤15．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．