Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax在x=

1

e

處取得極小值．
（Ⅰ）若不等式f（x）-bx+e≥0對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若m，n∈（0，e），且m+n=e，求證：f（m）+f（n）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先確定f（x）=xlnx，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-bx+e=xlnx-bx+e（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，得到[g（x）]_min，由此即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=2，f（x）-bx+e≥0，x=e時(shí)等號(hào)成立，可得（m）＞2m-e，f（n）＞2n-e，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1．
∵函數(shù)f（x）=ax+xlnx在x=

1

e

處取得極小值，
∴l(xiāng)n

1

e

+1+a=0，
∴a=0，
∴f（x）=xlnx，
令g（x）=f（x）-bx+e=xlnx-bx+e（x＞0），則g′（x）=lnx+1-b，
由g′（x）＞0得，x＞e^b-1，∴g（x）在（e^b-1，+∞）上遞增，
由g′（x）＜0得，0＜x＜e^b-1，∴g（x）在（0，e^b-1）上遞減，
∴g（x）_min=g（e^b-1）≥0，
可得b≤2，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，2]．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知b=2，f（x）-bx+e≥0，x=e時(shí)等號(hào)成立，
∵m，n∈（0，e），且m+n=e，
∴f（m）＞2m-e，f（n）＞2n-e，
∴f（m）+f（n）＞2（m+n）-2e=0，
∴f（m）+f（n）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力，屬于中檔題．