Question

已知數(shù)列{a_n}的n前項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）是否存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）求數(shù)列{a_n}的通項，可根據(jù)題設中的S_n=2a_n-2ⁿ這個遞推式進行變形，研究{a_n+2^n-1}的性質，求其通項，再求出數(shù)列{a_n}的通項；
（2）是否存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列，可先假設存在，由等比數(shù)列性質建立方程求參數(shù)的值，若能求出則說明存在，否則說明不存在．
解答：解：（1）由題意a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2ⁿ-（2a_n-1-2^n-1）⇒a_n=2a_n-1+2^n-1
∴
故{}是以為首項，以為公差的等差數(shù)列
又a₁=S₁=2a₁-2¹．故a₁=2，
∴{}是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列
所以=1+，
∴a_n=（n+1）×2^n-1，
（2）由（1）知a_n-（n+m）2^n-1=（1-m）×2^n-1
當m≠1，a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列
故存在實數(shù)m≠1，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列．
點評：本題考點是等比關系的確定，考查了由遞推式變形求數(shù)列的通項以及利用等比數(shù)列的性質確定合得數(shù)列成立的參數(shù)是否存在的問題，本題較抽象，是一個能力型的題．