Question

19、已知數(shù)列{a_n}的n前項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）是否存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）求數(shù)列{a_n}的通項，可根據(jù)題設(shè)中的S_n=2a_n-2ⁿ這個遞推式進(jìn)行變形，研究{a_n+2^n-1}的性質(zhì)，求其通項，再求出數(shù)列{a_n}的通項；
（2）是否存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列，可先假設(shè)存在，由等比數(shù)列性質(zhì)建立方程求參數(shù)的值，若能求出則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：（1）由題意a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2ⁿ-（2a_n-1-2^n-1）?a_n=2a_n-1+2^n-1
∴a_n+2^n-1=2（a_n-1+2^n-1），故{a_n+2^n-1}是以a₁+1為首項，以2為公比的等比數(shù)列
又a₁=S₁=2a₁-2¹．故a₁=2，故{a_n+2^n-1}是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+2^n-1=3×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ，
（2）若存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列，則有（a₁-（1+m）2⁰）×（a₃-（3+m）2²）=（a₂-（2+m）2¹）²
即4×（m²-1）=4×m²，此式不成立，
故不存在實數(shù)m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數(shù)列．

點評：本題考點是等比關(guān)系的確定，考查了由遞推式變形求數(shù)列的通項以及利用等比數(shù)列的性質(zhì)確定合得數(shù)列成立的參數(shù)是否存在的問題，本題較抽象，是一個能力型的題．