Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式中的第一項(xiàng)，然后給化簡后的后兩項(xiàng)提取2，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）由化簡后的解析式，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）令化簡后的解析式大于等于0，求出正弦函數(shù)的值域，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意的集合；
（3）由x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域得出函數(shù)f（x）的最大值及最小值，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，根據(jù)函數(shù)的最值，即可得到m的范圍．

解答：解：f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x（1分）
=1+sin2x-

3

cos2x（2分）
=2sin(2x-

π

3

)+1，（3分）
（1）T=

2π

2

=π；（4分）
（2）2sin(2x-

π

3

)+1≥0⇒sin(2x-

π

3

)≥-

1

2

（5分）
∴2kπ-

π

6

≤2x-

π

3

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z（6分）
∴kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴使f（x）≥0成立的x的取值集合為{x|kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z}；（7分）
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，（8分）
∴[f（x）]_max=3，[f（x）]_min=2，
∴|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，（9分）
∴[f（x）]_max-2＜m＜[f（x）]_min+2，
∴1＜m＜4，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，4]．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域及值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式恒成立滿足的條件，利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是本題的突破點(diǎn)．