Question

已知數(shù)列{a_n}中，（n≥2，n∈N⁺），數(shù)列{b_n}，滿足（n∈N⁺）
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項，并說明理由；
（3）記S_n=b₁+b₂+…+b_n，求．

Answer 1

證明：（1）∵，
而　，
∴．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首項為，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有，而，
∴．
對于函數(shù)，在x＞3.5時，y＞0，y'＜0，在（3.5，+∞）上為減函數(shù)．
故當n=4時，取最大值3
而函數(shù)在x＜3.5時，y＜0，，在（-∞，3.5）上也為減函數(shù)．
故當n=3時，取最小值，a₃=-1．
（3），b_n=n-3.5，
∴．
分析：（1）由題意可求得，從而有，利用等差數(shù)列的定義即可證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）可求得b_n=n-3.5，從而求得，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性，從而可求數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項；
（3）由于數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b_n=n-3.5，利用等差數(shù)列的求和公式可求得S_n+1，從而可得，可求．
點評：本題考查數(shù)列的極限，重點考察等差數(shù)列的定義的應用，數(shù)列的函數(shù)性質，及求極限，屬于綜合性較強的難題．