Question

（附加題）設(shè)集合A={x|x=m+n

2

，其中m，n∈Z}
（1）對(duì)于給定的整數(shù)m，n，如果滿足0＜m+n

2

＜1，那么集合A中有幾個(gè)元素？
（2）如果整數(shù)m，n最大公約數(shù)為1，問(wèn)是否存在x，使得x和

1

x

都屬于A，如果存在，請(qǐng)寫出一個(gè)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）若n=0，則滿足0＜m＜1的整數(shù)m不存在，此時(shí)為空集，沒(méi)有元素，若n≠0，求出m的范圍，對(duì)于任意給定的整數(shù)n，找出符合條件的m，從而確定集合中元素的個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)x和

1

x

都屬于A建立等式關(guān)系，化成集合A中元素的形式，再根據(jù)整數(shù)m，n最大公約數(shù)為1，可得m²-2n²是1的公約數(shù)，即m²-2n²=±1，然后取一m和n使得滿足條件即可．

解答：解：（1）若n=0，則滿足0＜m＜1的整數(shù)m不存在，此時(shí)為空集
若n≠0，則-n

2

＜m＜1-n

2

，對(duì)于任意給定的整數(shù)n，只有一個(gè)整數(shù)m符合條件，此時(shí)為單元集
（2）設(shè)x∈A，則x=m+n

2

，m，n∈Z，則

1

x

=

m- 2 n

m2-2n2

=

m

m2-2n2

-

n

m2-2n2

2

，m，n∈Z
如果

1

x

∈A，則m²-2n²是1的公約數(shù)，即m²-2n²=±1，不妨取m=3，b=2，即x=3+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了集合中元素的個(gè)數(shù)，同時(shí)考查了最大公約數(shù)的概念，屬于中檔題．