Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．
（Ⅰ）當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，求|a-b|的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量加減的運(yùn)算法則求出a-b，化簡(jiǎn)，將x=$\frac{π}{4}$帶入，求模長(zhǎng)．
（Ⅱ）根據(jù)平面向量乘積的運(yùn)算法則求出f（x），將其化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到答案．
（Ⅲ）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{23π}{12}$]內(nèi)求出方程f（x）=k時(shí)，x的值，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（Ⅰ）由向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，sin2x），
則：a-b=（2cos²x-1，$\sqrt{3}-$sin2x）
當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，a-b=（2cos²$\frac{π}{4}$-1，$\sqrt{3}-$sin2×$\frac{π}{4}$）
=（0，$\sqrt{3}-1$）
那么：|a-b|=$\sqrt{0+{{（\sqrt{3}-1）}^2}}=\sqrt{3}-1$
（Ⅱ）f（x）=a•b-1=1×2cos²x+$\sqrt{3}×$sin2x
=$2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x-1$
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$
由sinx的圖象和性質(zhì)，可知x$∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$，（k∈Z）是增區(qū)間．
∴2x+$\frac{π}{6}$$∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$是增區(qū)間，即：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，（k∈Z）
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}$]，（k∈Z）
（Ⅲ） 由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得$sin（2x+\frac{π}{6}）=\frac{k}{2}$．
∵$sin（2x+\frac{π}{6}）$的周期T=π，又$\frac{23π}{12}-（-\frac{π}{12}）=2π$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）$在$[-\frac{π}{12}，\frac{23π}{12}]$內(nèi)有2個(gè)周期．
∵$0＜\frac{k}{2}＜1$，∴方程$sin（2x+\frac{π}{6}）=\frac{k}{2}$在$[-\frac{π}{12}，\frac{23π}{12}]$內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，即有4個(gè)實(shí)根．
根據(jù)圖象的對(duì)稱性，有${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}$，${x_3}+{x_4}=\frac{7π}{3}$，
∴所有實(shí)數(shù)根之和=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=$\frac{8π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的基本運(yùn)算和三角函數(shù)的結(jié)合的運(yùn)用．以及利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決一些題的能力，屬于中檔題．