Question

在正方形ABCD中，E、F分別在AB、BC邊上，且BE=BF=

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BC，將△AED和△CFD分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點P，連接EF、PB．
（1）求證：PD⊥EF；
（2）求異面直線PB和EF所成角的大��；
（3）求證：點P在平面EFD上的射影不可能落在EF上．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由PD⊥PE，PD⊥PF，得PD⊥平面PEF，由此能證明PD⊥EF．
（2）由BE=BF=BC，EF∥AC，AC⊥BD，EF⊥BD，EF⊥PD，由此能求出異面直線PB和EF所成的角為90°．
（3）假設(shè)點P在平面EFD上的射影G落在EF上，PG⊥EF，PE=PF，點G必為EF的中點，BD與EF的交點為G．由此能推導(dǎo)出與平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾，從而得到點P在平面EFD上的射影不可能落在EF上．

解答： （1）證明：PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF=P，
∴PD⊥平面PEF．又EF?平面PEF，
∴PD⊥EF．
（2）解：BE=BF=BC，EF∥AC，
又AC⊥BD，EF⊥BD，
又EF⊥PD，BD∩PD=D，
EF⊥平面PBD．又PB?平面PBD，∴EF⊥PB，
∴異面直線PB和EF所成的角為90°．
（3）證明：假設(shè)點P在平面EFD上的射影G落在EF上，
PG⊥EF，PE=PF，點G必為EF的中點，
即BD與EF的交點為G．
由點在面內(nèi)的射影的定義知PG⊥面EFD，PG⊥GD，
又DP⊥面PEF，PG⊥面PEF，DP⊥PG．
又GD∩DP=D，這與平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾，
上述假設(shè)不成立，即點P在平面EFD上的射影不可能落在EF上．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，考查點P在平面上的射影不可能落在直線上的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．